Một phương trình ma trận ở dạng L x = b {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} } hoặc là U x = b {\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} } là rất dễ dàng để giải quyết bằng một quá trình lặp được gọi là thay thế về phía trước cho ma trận tam giác dưới và thay thế trở lại tương tự cho ma trận tam giác trên. Quá trình này được gọi như vậy vì đối với các ma trận tam giác thấp hơn, lần đầu tiên tính toán x 1 {\displaystyle x_{1}} , sau đó thay thế chuyển tiếp vào phương trình tiếp theo để giải x 2 {\displaystyle x_{2}} và lặp lại thông qua x n {\displaystyle x_{n}} . Trong một ma trận tam giác trên, một công trình ngược, tính toán đầu tiên x n {\displaystyle x_{n}} , sau đó thay thế nó trở lại phương trình trước để giải x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} và lặp lại thông qua x 1 {\displaystyle x_{1}} .

Lưu ý rằng điều này không yêu cầu đảo ngược ma trận.

Chuyển tiếp thay thế

Phương trình ma trận L x = b có thể được viết dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính

ℓ 1 , 1 x 1 = b 1 ℓ 2 , 1 x 1 + ℓ 2 , 2 x 2 = b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ℓ m , 1 x 1 + ℓ m , 2 x 2 + ⋯ + ℓ m , m x m = b m {\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}

Quan sát rằng phương trình đầu tiên ( ℓ 1 , 1 x 1 = b 1 {\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}} ) chỉ liên quan x 1 {\displaystyle x_{1}} và do đó người ta có thể giải quyết cho x 1 {\displaystyle x_{1}} trực tiếp Phương trình thứ hai chỉ liên quan đến x 1 {\displaystyle x_{1}} và x 2 {\displaystyle x_{2}} và do đó có thể được giải quyết khi một thay thế trong giá trị đã được giải quyết cho x 1 {\displaystyle x_{1}} . Tiếp tục theo cách này, k {\displaystyle k} phương trình -th chỉ liên quan đến x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} và người ta có thể giải quyết cho x k {\displaystyle x_{k}} sử dụng các giá trị đã giải quyết trước đó cho x 1 , … , x k − 1 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}} .

Các công thức kết quả là:

x 1 = b 1 ℓ 1 , 1 , x 2 = b 2 − ℓ 2 , 1 x 1 ℓ 2 , 2 ,     ⋮ x m = b m − ∑ i = 1 m − 1 ℓ m , i x i ℓ m , m . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}

Một phương trình ma trận với ma trận tam giác U trên có thể được giải theo cách tương tự, chỉ hoạt động ngược.

Các ứng dụng

Thay thế chuyển tiếp được sử dụng trong bootstrapping tài chính để xây dựng một đường cong lợi suất.